八个不报错的失败：拟合器安静地返回了初始猜测

写一个阻抗谱等效电路拟合器，撞到八个问题。没有一个会抛异常，没有一个会打印警告。它们全都产出了看起来完全合理的输出——最严重的那个，是拟合函数安静地把你的初始猜测原样还给你，而界面上一切正常。这篇讲的不是拟合，是数值代码怎么在不报错的情况下骗你。

一、最贵的那个：符号写反，函数返回初始猜测

Levenberg–Marquardt 的一步，在残差定义为 r = y − f(x)、雅可比为 J = ∂r/∂x 时，下降方向是：

Δx = −(JᵀJ + λD)⁻¹ Jᵀr

我写成了：

x += (JᵀJ + λD)⁻¹ Jᵀr        // 少了一个负号

少一个负号意味着每一步都在往上坡走。LM 的内层循环会试探性地增大阻尼 λ 再重算，只要新残差不比旧的小就拒绝这一步。往上坡走的结果是：12 次 λ 尝试全部被拒，循环退出，iter = 0，函数返回它进来时拿到的那个 x。

而 x 进来时是初始猜测。

于是界面上你会看到：一条拟合曲线（用初始猜测算的，形状大致对）、一组参数（就是你自己填的初值）、一个 chi² 值（有限、不离谱）。没有任何一处提示出错。如果初始猜测给得还行，这个”结果”甚至看着挺不错。

发现它的唯一途径是拿合成数据去打：用已知的一组参数正演出一条曲线，喂进拟合器，看它能不能把那组参数还原出来。还不出来，就是坏的。

任何拟合器、优化器、求解器都必须有一个”合成数据 → 已知答案”的自检，而且要在每次改动数值核心之后跑。这不是测试覆盖率的问题——是这类代码失败时不会告诉你，你只能主动去问。

二、参数沿山谷跑到 1e154，而残差纹丝不动

ZARC 元件（一个电阻并联一个常相位元件）的阻抗是：

Z = R / (1 + R·Q·(jω)ⁿ)

把 R 推向无穷，同时保持乘积 R·Q 不变，这个表达式退化成纯 CPE：Z → 1/(Q(jω)ⁿ)。

意思是：在 R·Q 为常数的那条曲线上，R 和 Q 可以一起跑向无穷而阻抗几乎不变。这是一条平坦的山谷，残差在谷底任何位置都一样。优化器没有理由停在某一点，它会一直滑。

不加边界的时候，40 组噪声实现里出现过 R1 ≈ 1e154——而它的 chi² 是正常的。拟合”成功”了，参数是垃圾。

处理办法不是加大迭代次数或换优化器（山谷是模型本身的性质，换谁都一样），而是两步：

1. 给每个参数物理边界（电阻不可能是 1e154 欧姆）；
2. 撞到边界时标记为”未识别”，而不是把那个数打印出来。

第二步是关键。撞边界的意思是”数据不足以确定这个参数”，此时边界值只是优化器停下的地方，没有物理含义。打印它等于把一个任意数字包装成测量结果。

三、守卫误报会耗尽它自己的可信度

加完边界之后我又加了一个可靠性守卫，判据是”最后一次迭代的相对改善 < 1e-12 才算收敛”。听起来很严谨。

结果它把 60 组里的 4 组完全正常的拟合标成了”不可靠”——那 4 组的 chi²_red 和成功的那些是同一个量级。

原因是我误解了 LM 的终止条件。LM 的正常终止方式就是”再也找不到能让残差下降的步长”——阻尼加到某个程度还是没有改善，于是退出。这时”最后一次相对改善”可能根本就没有，或者是上一次成功步的值。拿它当收敛判据，会把正常收敛判成失败。

这个错误的代价不在那 4 组本身，而在于：一个经常误报的警告，用户很快就会学会忽略它。而一旦养成忽略的习惯，真正该报警的那次也会被忽略掉。守卫的价值完全建立在它很少说谎上，误报是在消耗这个存量。

宁可少报，也不要多报——漏掉的那次至少不会训练用户无视你。

四、权重不是设置，是结果的一部分

拟合阻抗谱时要选残差权重。常见的两种：单位权重（每个点等权）和模值权重（按 |Z| 归一）。阻抗的模值在一条谱里能跨好几个数量级，所以这个选择不是细节。

拿同一套合成数据跑 60 组独立噪声实现，看 R0 的还原误差：

系统偏差差 250 倍，离散度差 160 倍。换一个下拉框的值，同一份数据能给出两个结论。

所以这个工具里权重是一个显式控件，并且跟结果一起打印出来。把它藏在默认值后面，等于让读者拿到一个没法复现的数字。

五、剩下四个：都在显示层，都不报错

Nyquist 图必须两轴同比例

看 Nyquist 图的目的之一，就是判断那段弧是标准半圆还是被压扁的。而在自由长宽比下，压扁的弧和标准半圆看起来一模一样——你正好看不出你要看的那件事。两轴必须锁同一个标度。

刻度不能用累加生成

// 坏：浮点误差累积
for (let v = lo; v <= hi; v += step) ticks.push(v);

// 好：整数倍
for (let k = 0; k <= n; k++) ticks.push(lo + k * step);

累加的后果是本该为 0 的刻度变成 1.7e-18。单看这个值无所谓，但接下来 SI 前缀格式化会把它渲染成 0.000001735 p——一个长到把整个坐标轴撑出 viewBox 的字符串。一个 1e-18 的数值误差，表现为图裂了。

无量纲量不能套 SI 前缀

CPE 指数 n 是无量纲的，典型值 0.86。格式化函数不加区分地套 SI 前缀，显示成 "859.6 m"——毫，作为 0.8596 的前缀，在数学上完全正确，在物理上毫无意义。格式化函数需要知道哪些量有单位。

测试环境自己会骗你

调试时有两次我确信"改动没生效"，两次都是环境问题：

• headless Chrome 复用 --user-data-dir 时，会从磁盘缓存拿旧页面；
• 页面 URL 不带缓存绕过参数时拿到的是 CDN 边缘缓存——而且要注意参数名本身可能被缓存规则忽略，我用过一个不起作用的参数名，白白误判了一次。

验证"改动是否生效"之前，先验证"你看到的是不是新版本"。

六、这八个的共同点

把它们排在一起，模式很清楚：

没有一个抛异常。数值代码的失败模式几乎都是这样：它不会崩，它会给你一个数。而一个数在屏幕上的样子，跟它是对是错无关。

能对抗这个的只有一件事——准备一份你知道正确答案的输入，并且每次改动数值核心之后都跑一遍。本文里前四个问题全部是靠合成数据发现的，没有一个是靠读代码发现的。

References

• Marquardt (1963), An Algorithm for Least-Squares Estimation of Nonlinear Parameters
• Boukamp (1986), A nonlinear least squares fit procedure for analysis of immittance data
• impedance.py 文档：等效电路拟合与权重选择

相关阅读：EIS 等效电路拟合器（本文说的那个工具）、参数拟合与可辨识性（"拟合收敛了"为什么不等于"参数是对的"）、HPPC 脉冲内阻分析器 与 dQ/dV 增量容量分析器（另外两种表征手段）。