反向传播计算图：两层 MLP 的前向、局部梯度和反向传播
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反向传播计算图：两层 MLP 的前向、局部梯度和反向传播
把两层 MLP 拆成计算图，手算 ReLU、softmax cross-entropy、dW2、dW1，并用 NumPy 复现实验结果。
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难度: 进阶 阅读时间: 14 分钟
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  • Computation Graph
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反向传播可以理解成“在计算图上反向传递局部梯度”。它并不是神经网络专属的魔法，而是链式法则在程序里的系统化执行。

这一篇用一个两层 MLP 手算：x -> W1x+b1 -> ReLU -> W2h+b2 -> softmax cross-entropy，并对照实验包输出的 loss、概率和梯度范数。

一、把网络拆成计算图

z1     = W1 x + b1
h      = ReLU(z1)
logits = W2 h + b2
p      = softmax(logits)
L      = -log p[target]

每个节点只负责一个简单操作。前向传播保存中间值，反向传播从 loss 出发，把梯度一层层乘回去。

两层 MLP 计算图和反向传播路径
计算图把复杂网络拆成局部可求导的小步骤。

二、softmax cross-entropy 的关键简化

如果 loss 是 softmax 后的交叉熵，logits 的梯度会简化成：

dL/dlogits = p - one_hot(target)

实验包里 target 是第 1 类，输出概率为 p0=0.638763、p1=0.361237，所以 dlogits = [0.638763, -0.638763]^T。这一步是很多框架把 softmax 和 cross-entropy 合并实现的原因：数值更稳定，梯度更简单。

三、两层 MLP 的反向公式

dW2 = dlogits h^T
db2 = dlogits
dh  = W2^T dlogits
dz1 = dh * ReLU'(z1)
dW1 = dz1 x^T
db1 = dz1

实验结果给出 loss=1.018222，norm_dW1=0.999823，norm_dW2=0.993682。这两个范数接近，说明这个 toy example 中两层参数都收到明显梯度，不是只有最后一层在学习。

四、核心代码

dlogits = probs - target
dW2 = dlogits @ h.T
db2 = dlogits
dh = W2.T @ dlogits
dz1 = dh * (z1 > 0)
dW1 = dz1 @ x.T
db1 = dz1

这段代码和公式几乎一一对应。真正容易出错的地方通常是：h.T 忘记转置、ReLU mask 用错、或者把 batch 维度和特征维度混在一起。

五、动画看什么

动画从 loss 开始，沿计算图反向点亮 logits、隐藏层和第一层权重的梯度路径。

不要只看箭头方向。要观察每个节点保存了什么前向值，以及为什么反向时需要这些值。

六、调试建议

  • 先用单样本单 batch 跑通，再扩展到批量矩阵。
  • 打印每个梯度的 shape，确保和参数 shape 一致。
  • ReLU 梯度只在 z1 > 0 的位置通过。
  • softmax cross-entropy 不要先手写成不稳定的 exp(logits) 大数版本。

下一篇会研究这些梯度如何驱动参数移动，以及不同优化器为什么走出不同轨迹。

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