卷积与感受野数学：5×5 输入、3×3 kernel、padding 和 im2col
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卷积与感受野数学：5×5 输入、3×3 kernel、padding 和 im2col
手算一次 5x5 输入与 3x3 kernel 的离散卷积，解释输出尺寸、padding、stride、感受野和 im2col。
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卷积与感受野数学：5×5 输入、3×3 kernel、padding 和 im2col

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难度: 进阶 阅读时间: 13 分钟
  • Convolution
  • Receptive Field
  • im2col
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卷积神经网络的核心不是“图片模型专用层”，而是一种局部连接、权重共享和空间结构保留的计算方式。理解卷积，要从一个窗口如何扫描输入开始。

这一篇用 5x5 输入和 3x3 kernel 手算一次卷积，再解释 padding、stride、receptive field 和 im2col。

一、卷积输出尺寸公式

out_h = floor((H + 2P - K) / S) + 1
out_w = floor((W + 2P - K) / S) + 1

如果输入是 5x5，kernel 是 3x3，padding 为 0，stride 为 1，输出就是：

floor((5 + 2*0 - 3) / 1) + 1 = 3

所以输出 feature map 是 3x3。

二、手算一个位置

卷积的一个输出值来自一个局部 patch 和 kernel 的逐元素乘积求和。

5x5 输入、3x3 卷积核和 3x3 输出特征图
高亮 patch 与 kernel 做点积，得到输出 feature map 的一个格子。

实验包输出的 conv2d-results.csv 显示中间位置 row=1,col=1 的结果是 -1.000000。如果你手动把高亮 3x3 区域和 kernel 对齐相乘求和，也会得到同一个值。

三、为什么 receptive field 会变大

单层 3x3 卷积只看输入中的 3x3 局部区域。堆叠两层 3x3 卷积后，第二层的一个输出点会依赖第一层的 3x3 区域，而第一层每个点又依赖原图局部区域。因此原图上的有效感受野会扩大。

这就是 CNN 能从边缘、纹理逐步组合成局部形状和高层模式的原因。

四、im2col：卷积变矩阵乘法

很多高性能实现会把每个 patch 展平为一行，所有 patch 组成一个矩阵。对于这个 5x5 输入和 3x3 kernel，一共有 9 个 patch，每个 patch 有 9 个数，所以 im2col_shape=9x9。

def im2col(image, kernel_size, stride=1, padding=0):
    rows = []
    for row in range(out_h):
        for col in range(out_w):
            patch = padded[row:row+kernel_size, col:col+kernel_size]
            rows.append(patch.reshape(-1))
    return np.vstack(rows)

五、动画看什么

动画展示卷积窗口扫描、输出格子填充和 receptive field 扩大的过程。

看动画时注意：kernel 参数在不同位置复用，这就是权重共享；窗口只看局部区域，这就是局部连接。

六、工程建议

  • 写 CNN 前先算每层输出尺寸，避免 flatten 时维度错误。
  • stride 增大能降采样，但也会丢失空间细节。
  • padding 可以控制边缘信息是否被快速丢弃。
  • 多通道卷积会在每个输入通道上卷积，再跨通道求和。

下一篇进入 Transformer，卷积的局部窗口会被注意力里的全局 token-to-token 权重替代。

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